最近メールを書いていて、どっちかなと気になったので調べてみました。
予想は「済む」からきているから「すみません」だろうと思っていたので、どうやらあっているようです。
ただし、口語では「すいません」となっているので、どちらも正しいとのこと。
ビジネスでは話し言葉の「すいません」ではなく、「すみません」がよいとのことなので、「すみません」を使っていきます。

「すみません」と「すいません」正しいのはどっち?言葉の由来や用い方とは? - FUNDO
そこでここでは、「すみません」と「すいません」の違いや用い方について解説します。
どうでもいい記事を書いてしまってすみません。